Le texte suivant est une transcription de la conférence donnée par Alexandre Miquel à l'occasion de la fête de la science le 12 octobre 2007. Il n'a pas été relu par l'orateur ; en conséquence, je suis seul responsable des erreurs ou inexactitudes qu'il pourrait comporter. Il est d'ailleurs probable qu'il y en ait, ces notes n'ayant été que relues rapidement après la conférence. Merci de me signaler tout passage obscur.
Les mathématiques sont de plus en plus utilisées en sciences : physique, informatique, biologie, économie. Est-ce bien raisonable ? En effet, les méthodologies sont assez différentes. Dans les sciences expérimentales, on utilise une méthode empirique ; en mathématiques, une méthode axiomatique. Comment les deux peuvent-ils fonctionner ensemble ?
Il se trouve qu'en sciences expérimentales, on commence toujours par modéliser le problème. On se trouve alors dans un monde abstrait, mathématique, dans lequel on est franchement déconnecté de la réalité. Mais après avoir bien suivi les délires des mathématiciens, on obtient des résultats qu'on va appliquer : on les interprète pour obtenir des prédictions sur le monde réel, physique. Pourquoi fait-on confiance à ce point aux mathématiques ? On part d'un problème concret, on revient à un problème concret, mais on est passé par un monde totalement abstrait : comment savoir si notre problème de départ et notre problème d'arrivé ont un rapport ? Comment être certain que les mathématiques n'ont pas fait n'importe quoi dans l'intervalle ? C'est un problème philosophique mais aussi scientifique très sérieux, que les physiciens, les biologistes, les économistes, etc. sont obligés de se poser.
Prenons un petit exemple : les principes de la mécanique de Newton. Newton a posé deux lois très simples, l'une liant la force au mouvement (c'est le principe fondamental de la dynamique) et l'autre liant les forces à la présence de masses dans l'univers (c'est la loi de la gravitation universelle). Ce qui est remarquable, c'est qu'avec ces deux lois, on retrouve trois autres lois qui étaient connues bien longtemps avant celles de Newton : les lois de Kepler. Les lois de Kepler décrivent le mouvement des planètes du système solaire ; celles de Newton sont beaucoup plus générales, elles traitent de tous les corps en mouvement. Pour passer des unes aux autres, il est nécessaire de passer par des mathématiques assez compliquées (ou qui, du moins, font très peur quand on les regarde de loin). Ce qui est incroyable, c'est que ce passage par les mathématiques ne parlent absolument pas de forces, ni de planètes. Ce sont des opérations purement mathématiques. Et encore, pour ce qui est de Newton, ça reste assez simple. Depuis, Einstein est passé par là, et il a eu besoin pour sa théorie d'utiliser une partie des maths qui s'appelle les espaces de Minkowski, et qui font vraiment très très peur. De même pour la mécanique quantique, qui utilise les espaces de Hilbert.
C'est un problème général : il n'y a pas de rapport immédiat entre les mathématiques utilisées et le phénomène modélisé. En d'autres termes, les maths sont toujours hors-sujet. Elles le font même presque exprès : en maths, on ne s'intéresse qu'aux arguments logiques, pas au rapport avec le monde réel.
Un autre problème : les objets mathématiques abstraits n'ont souvent aucun équivalent dans le monde sensible. Finalement, les maths, c'est quasiment de la métaphysique. Ne serait-ce que lorsque vous dites « 2 + 2 = 4 » : avez-vous déjà vu le nombre 2 ? et le nombre 4 ? Non. Vous avez déjà vu deux pommes, ou deux yeux ; mais jamais « le nombre 2 ».
Les mathématiciens délirent totalement. Emmenez un mathématicien chez un psychiatre qui n'a jamais fait de maths, il pourrait le faire hospitaliser. Alors, pourquoi ça marche, les mathématiques ? Nous allons tenter de répondre à cette question, posée par E. Wigner dans un célèbre article, « La déraisonnable efficacité des mathématiques dans les sciences de la Nature. »
Il faut se rendre à l'évidence : on ne sait pas ce que sont les objets mathématiques. Par contre, ce que l'on sait, c'est calculer et raisonner avec ces objets. Le chef de file de cette école de pensée est David Hilbert, qui pensait que les mathématiques ne sont que des symboles, dont le sens n'a aucune importance. A la même époque, au début du XXe siècle, on commença ainsi à s'intéresser à la grammaire des mathématiques.
En mathématiques, il y a des objets, qu'on appelle les termes : 2, pi, la fonction racine carrée en sont des exemples. Il y a également des faits, que l'on appelle formules : « 2 + 2 = 4 », « 1 = 3 » (oui, des formules peuvent être vraies ou fausses), etc. Enfin, il y a des raisonnements, que l'on appelle preuves : ce sont les règles de la logique qui disent ce qu'on a le droit de faire avec les termes et les formules. Par exemple si A est vrai et que A implique B, alors B vrai (en remplaçant A et B par n'importe quelles formules). Dès lors, certains mathématiciens ont commencé à étudier les démonstrations, dans les années 1930 : c'étaient des mathématiciens qui se penchaient sur le fonctionnement même des mathématiques.
Quelques résultats découverts à cette époque : * les preuves peuvent être vérifiées par un objet : aujourd'hui, cet objet est un ordinateur ; * la vérité n'est pas calculable : les ordinateurs peuvent vérifier qu'une preuve est correcte, mais ils ne peuvent pas les inventer (sauf pour quelques preuves très simples) ; * tous les problèmes de maths n'ont pas forcément une solution (voir mon billet sur Turing, Church et l'addition).
Un problème fondamental, c'est la cohérence des mathématiques : est-ce que lorsque je fais un calcul, je suis sûr que je ne vais pas retrouver avec une contradiction. Par exemple, j'ai démontré que a^2 + b^2 + 2ab = (a + b)^2. Mais lorsque je vais remplacer a par 5 et b par 7, vais-je bien obtenir 144 = 144, et non pas 144 = 145 ? Deux résultats de l'époque : * la cohérence des mathématiques n'est pas démontrable avec les mathématiques ; * la cohérence des mathématiques n'est pas certaine. Finalement, il faut avoir confiance dans la cohérence des mathématiques, de même qu'on a confiance dans les lois de Newton. Mais on se rendre peut-être compte un jour que ça ne fonctionnera pas (comme lorsqu'Einstein est arrivé en physique) ; il faudra alors les modifier, pour garder la cohérence.
Dans les années 1970, on a découvert des résulats plus rassurants. Notamment, on s'est rendu compte qu'il y avait une étrange ressemblance entre les programmes informatiques et les règles de la logique : la correspondance de Curry-Howard (voir mon billet sur Curry, Howard, de Bruijn et Pythagore).
Intéressons-nous à la théorie de Popper : pour lui, ce qui caractérise une science, c'est son caractère falsifiable. C'est le critère de démarcation. En d'autres termes, est-ce que la science fournit elle-même les outils pour vérifier qu'elle est vraie ou fausse ? Est-ce qu'elle énonce des choses précises et testables ? Une propriété est falsifiée si l'on fait une prédiction et qu'on se rend compte par l'expérience que notre prédiction était erronée.
Attention : le critère de démarcation n'est pas un critère de signification. On peut avoir une théorie qui n'est pas falsifiable mais qui a du sens quand même (et inversement). Une théorie sera d'autant plus scientifique qu'elle énonce des interdictions,
Finalement, une vérité scientifique n'a rien à voir avec la certitude. Pour avoir des certitudes, il vaut mieux aller voir du côté de la religion.
Mais quel rapport avec l'efficacité des mathématiques ? Prenons deux théories A et B, telles que A implique B mathématiquement. Supposons alors que B est falsifiable expérimentalement : pourra-t-on en déduire que A est aussi falsifiable expérimentalement ?
Utilisons l'isomorphisme de Curry-Howard : on peut transformer une preuve de A implique B en un programme (informatique) qui transforme une preuve de A en preuve de B, mais également une falsification expérimentale de A en falsification expérimentale de B ! C'est un résultat assez récent, datant de 2006, découvert par Alexandre Miquel.
Reprenons l'idée de départ : je pars du monde concret, je le modélise, je fais une preuve p sur le modèle, et je réinterprète dans le monde concret. Maintenant, si je trouve un contre-exemple expérimental à mon résultat, je pourrai transformer ma preuve p en un programme (informatique, donc concret) qui produit un contre-exemple à mon problème de départ.
Le passage par le modèle mathématique est alors justifié, raisonnable. Même si l'on est passé par un monde abstrait, ce n'était qu'une étape temporaire, utile pour stimuler l'imagination, pour étendre les conséquences d'une théorie. Mais en aucun cas on ne perd le rapport à la réalité, car on a toujours un moyen de revenir en arrière, via le monde réel. Si les conséquences de ce qu'on a déduit par les mathématiques ne se vérifient pas expérimentalement, on est certain que le problème n'était pas dans le passage abstrait, mais bien dans les hypothèses de départ (à condition que la modélisation et la preuve soient correctes, bien sûr).
Des transparents sur le même sujet (mais issus d'une conférence plus technique) sont disponibles sur le site d'Alexandre Miquel.
Mise à jour : les transparents de la conférence sont disponibles. Un brouillon d'article (technique) est également disponible sur demande auprès de l'auteur.
Envoyer un commentaire (par mail).